שולי אופיר ואילנה לבנברג לספר על מספרים

Size: px

Start display at page:

Download "שולי אופיר ואילנה לבנברג לספר על מספרים"

Buddy Cain
6 years ago
Views:

1 שולי אופיר ואילנה לבנברג מבוא לספר על מספרים שולי אופיר ואילנה לבנברג טיפוח אוריינות מתמטית הוא אחת הדרכים להתגבר על הקושי להבין ולפתור בעיות מילוליות במתמטיקה. במחקר זה נבדקה האוריינות המתמטית של פרחי הוראה ושל מורים בפועל באמצעות יכולתם לכתוב כתיבה מתמטית על פי קבוצה נתונה של מספרים. על סמך הנתונים שנאספו נערכה השוואה בין האוכלסיות בנושאים כמו מידת היכולת לנסח בעיה מילולית, מידת היכולת להיצמד למציאות בניסוח הבעיה והיכולת לכתוב בעיה מקורית. ממצאי המחקר מורים על בלבול בין בעיה מתמטית, סיפור מתמטי ותרגיל. חלק מהנחקרים התקשו בניסוח בעיה מילולית ובמקרה הטוב נצמדו לניסוחים המופיעים בספרי הלימוד. לא נמצאו הבדלים בולטים בין האוכלוסיות. מסקנות אלה מחזקות את הצורך בשילוב של פעילויות אורייניות במהלך ההכשרה של פרחי ההוראה כהכנה להוראת נושא הבעיות המילוליות. הוראת בעיות מילוליות נחשבת לאחת המשימות הקשות והמורכבות שעימה מתמודדים המורים למתמטיקה. כדי שהתלמידים יבינו כיצד פותרים בעיה במתמטיקה ולא רק ידקלמו עובדות ויבצעו פעולות חישוב יש לאמץ דרך הוראה הולמת, המקדמת חשיבה והבנה מתמטית. מחקרים בחינוך המתמטי מלמדים על קשר בין הבנה לביצוע אלגוריתמי. על פי נשר )0991(, הבנה היא מתן פשר לחדש על בסיס הקיים על ידי יצירת אנלוגיות בין מערכת חדשה למערכת מוכרת הפועלת על פי חוקיות דומה. סקאמפ )1997 Skemp, מ( ציע שני פירושים למושג הבנה הבנה אינסטרומנטלית והבנה רלציונית. הבנה אינסטרומנטלית פירושה ידיעת כללים והיכולת ליישמם, והבנה רלציונית היא הידיעה מה לעשות ומדוע. חיזוק לגישה זו מספק היברט )1986.)Hiebert, הוא מבחין בין ידע פרוצדורלי, שבו מבצעים פרוצדורות אלגוריתמיות, לידע קונספטואלי. לטענתו, במהלך ההוראה חייבים להגיע לידע מהסוג השני, כלומר ליצור הבנה רלציונית תוך מתן דגש על הקשר הלוגי בין המושגים. 0

2 לספר על מספרים פישביין )1993 )Fischbein, מצא שלושה היבטים מרכזיים בכל פעילות מתמטית: ידע פורמלי, ידע אלגוריתמי וידע אינטואיטיבי. טיפוח הקשרים בין סוגי ידע אלה מאפשר לדעתו גמישות מחשבתית והבנה רחבה של מבנה הדעת המתמטי. מסגרת תאורטית זו מובילה אותנו אל החלק המעשי שבהוראת המקצוע. הוראת המתמטיקה מדגישה שלושה היבטים: שימוש בייצוגים מספריים, שימוש בהגדרות, אקסיומות, גרפים וביטויים מתמטיים, ושימוש בייצוגים מילוליים. המתמטיקה כשפה משמשת להפקת מידע ולהבנתו, לארגון המחשבה ולביטוי הכללות בדיבור ובכתיבה. כלכל שפה, גם לשפת המתמטיקה יש קשר הדוק לאוריינות. אוריינות מתמטית היא למעשה היכולת לתאר הן מצבים מתמטיים טהורים והן מצבים מציאותיים )חוץ- מתמטיים( תוך שימוש בשפה מתמטית )פטקין, מילאת ועזר, 6112(. עם הפעילויות האורייניות היכולות להתבצע בשיעורי מתמטיקה נמנות: דיבור מתן הסברים בקול במהלך פתרון בעיה מתמטית תוך הוספת הנמקות לפעולות השונות שמבצע הלומד )פטקין, מילאת ועזר, 6112(. כתיבה לכל סוגיה, ובהם כתיבת יומן לפני פתרון בעיה, במהלכו ואחריו, וכתיבה רפלקטיבית, היינו חשיבה על החשיבה )מטקוגניציה(. סוג זה של כתיבה נועד להעמיק את ההבנה של הלומד וליצור משמעויות חדשות של הנושא הנלמד )1994.)Scheibelhut, קריאה הפניית הלומד לקריאת טקסט מתמטי ללימוד הבנת הנקרא והבהרת מושגים, הגדרות ומשפטים )1995.)Buschman, כתיבה מתמטית בניית סיפורים ובעיות מתמטיות בהתבסס על סיפורים מוכרים או יצירה של הלומד פרי דמיונו. הכוונה היא לעודד יצירה עצמית של בעיות מתמטיות ולא רק להפנות לבעיות המוצגות בספרי הלימוד.)Kleiman, 1989( מחקרים בנושא האוריינות מציינים את תפקידה של השיחה בשיעורי המתמטיקה ואת חשיבות הקריאה והכתיבה בתהליך בניית מושגים מתמטיים אצל הלומד )רגב ושמעוני,.)Borasi & Sheedy, 1990; Harris, 1999; ;0999 6

3 שולי אופיר ואילנה לבנברג קרמרסקי )0992( דיווחה על התרומה של קריאה וכתיבה לפיתוח החשיבה המתמטית. כתיבה זו יכולה להיות מגוונת, כגון תיאור בכתב של תחושות ועמדות כלפי מתמטיקה, סיכום מחשבות ואסטרטגיות שהופעלו במהלך הלמידה ובניית בעיות. חוקרים מדגישים את החשיבות שבניסוחן של בעיות מילוליות על ידי הלומד לא רק לשם התלמידים הבנת הנושא הנלמד אלא גם ככלי המסייע למורה להבין את דרך החשיבה של.)Morgan, 1996; Silver, 1996( מיומנות של כתיבה מתמטית ולעודד כתיבה יצירתית. זו גם הדרך שבה יוכל המורה לפתח כדי לבחון כתיבה של טקסט מתמטי נתבסס במחקר הנוכחי על הבחנתו של קינטש )1986,)Kintsch, המציג שני סוגי טקסט, סיפור מתמטי ובעיה מתמטית. בסוג הראשון מופיעים תכנים מתמטיים כחלק מכתיבה ספרותית והוא עומד בזכות עצמו ללא צורך בביצוע פעילות כלשהי לגביו. בסוג השני מתוארת בטקסט סיטואציה בלתי פתורה, והקורא נדרש להביא לפתרונה. בשני העשורים האחרונים, עם אימוצה של הגישה הקונסטרוקטיביסטית בהוראה בכלל ובהוראת המתמטיקה בפרט, ניכרת השפעתה גם על הסטנדרטים להוראת המתמטיקה )2000.)NCTM, בהמלצות לגבי הסטנדרטים בולט הנושא של פתרון בעיות מילוליות שתוכניהן רלוונטיים לתלמיד. כדי שהמתמטיקה לא תיתפס כמקצוע המנותק מהמציאות, מומלץ שהבעיות המתמטיות המוצגות לתלמיד יהיו קרובות לעולמו ובעלות משמעות לגביו. בהקשר זה ראוי לציין את מחקרו של גריר )1993.)Greer, החוקר בחן בעיות שחיברו תלמידים ומצא שהן נעדרות מספריים שאינם מתקבלים על הדעת. התייחסות למציאות. למשל, היה בהן שימוש בגדלים ממצאי המחקר הפנו אצבע מאשימה כלפי המורים המלמדים, בטענה שהם אינם נותנים את דעתם על התופעה. בעקבות בפרחי הוראה ממצאים אלה נערך מחקר רב-משתתפים על מידת המודעות לנושא בקרב )1996.)Verschaffel, נמצא שאמנם פרחי ההוראה מודעים לחשיבות התוכן המציאותי של בעיה מילולית, אך לא הוכח שגישה זו מועברת לתלמידים במהלך ההוראה בכיתה. לכן, להכנה בנושא זה חשיבות מרובה. המקור היחיד ללימוד נושא הבעיות המילוליות הוא ספר הלימוד. אלא שבספרי הלימוד נשמר במשך שנים נוסח קבוע להצגת בעיות, ונראה שדבר זה משפיע ישירות על אופן ההתבטאות של תלמידים. לכן, בכתיבה מתמטית של תלמידים שאינם מצטטים ישירות 1

4 לספר על מספרים מספרי הלימוד יש לראות סוג של יכולת ל"יצירתיות". יכולת זו תיבחן גם היא במחקר זה. כמכשירי מורים אנו יודעים כי קשיים בפתרון בעיות מילוליות אינם נחלתם של התלמידים בלבד. גם פרחי הוראה, אפילו מי שבחרו להתמחות בהוראת המתמטיקה, מתקשים בכך. מחקרים העוסקים בתחום זה יוצאים מנקודת הנחה שהמורה הוא בעל הידע והמתקשה היחיד הוא התלמיד. קוני )1985,)Coony, שבדק את עמדותיהם של פרחי הוראה כלפי בעיות מילוליות עורר מודעות לא רק לחשיבות הטיפול בנושא אלא גם למורכבותו. לדעתו, גם אם למורה עצמו אין קשיים בפתרון בעיות, הרי לתפיסתו ולאמונותיו כלפי הנושא השפעה רבה על דרך ההוראה שלו. הנחת היסוד של מחקר זה היא קביעתו של תומפסון: "פרחי הוראה רבים בבית הספר היסודי סבורים שידיעת מתמטיקה אינה אלא היכולת לשלוט במערך נתון של עובדות, חוקים והליכים" )126.p.)Thompson, 1984 במחקר עצמו בחרנו להתמקד בנושא של כתיבת סיפורים ובעיות מתמטיות. שאלות המחקר באיזו מידה יכולים סטודנטים המכשירים עצמם להוראת מתמטיקה ומורים בפועל לכתוב כתיבה מתמטית על פי רשימה נתונה של מספרים? אילו מרכיבים ניתן במוצרי כתיבה זו? האם קיימים הבדלים בין האוכלוסיות בשתי השאלות הנ"ל? השיטה אוכלוסיית המחקר אוכלוסיית המחקר כללה 2 91 נחקרים: 26 פרחי הוראה במסלולי בית הספר היסודי ומורות-גננות בהתמחות מתמטיקה ו- 60 מורות בפועל למתמטיקה בחינוך היסודי. התפלגות המדגם היא: קבוצה א' 13 סטודנטיות שנה א' במסלול התמחות מורות-גננות קבוצה ב' 60 סטודנטיות שנה א' במסלול בית הספר היסודי בהתמחות מתמטיקה קבוצה ג' 02 סטודנטיות שנה ב' במסלול בית הספר היסודי בהתמחות מתמטיקה קבוצה ד' 60 מורות בפועל למתמטיקה בחינוך היסודי

5 שולי אופיר ואילנה לבנברג יצוין כי קבוצה א' )מורות-גננות( למדה במהלך השנה, לפני המחקר, קורס ושמו "סיפור וחרוז מתמטי", וייתכן שתכניו השפיעו על יכולתן לנסח בעיה וסיפור מתמטי. כלי המחקר הנחקרים השיבו על שאלון זהה ובו ארבע מטלות. ניסוחן של ארבע המטלות היה דומה, למרות שכל אחת מהן כוונה למטרה אחרת. לא היתה הגבלת זמן בכתיבת התשובות: שאלה 0: כתבו סיפור קצר הכולל בתוכו את המספרים: 2. 01, 62, 011, שאלה 6: כתבו בעיה מתמטית אשר תכלול את המספרים 3. 00, 62, 012, שאלה 1: כתבו סיפור קצר הכולל בתוכו את המספרים , 61, שאלה 2: כתבו בעיה מתמטית אשר תכלול את המספרים , 21, בשתי המשימות נבחרו ארבעת המספרים באופן אקראי, ללא אסוציאציה מיידית ביניהם, ורק הדרישה בשתיהן היתה שונה. שתי השאלות הבאות היו זהות בניסוחן לשאלות הקודמות אך נבדלו בנתונים המספריים ניתנו בהן רק שלושה מספרים, שהם בעלי קשר אסוציאטיבי גלוי לעין. ניתוח הממצאים ניתוח הממצאים התבצע באופן הבא: לכל אחת מהשאלות הפתוחות בוצע ניתוח כמותי בהתאם לנושא שנבחר לבדיקה, כך שכל אחת מהן נבדקה מספר פעמים בהתאם לאפיון שנבחר להלן הההיבט השונים שנבחרו לבדיקה: א. מידת היכולת לנסח בעיה או סיפור מתמטי, ללא התייחסות לתוכנם ב. מידת השימוש בכל המספרים הנתונים בניסוח הסיפור או הבעיה ג. מידת היכולת לתרגם את הבעיה המילולית לתבנית מספרים ד. מרכיבים מציאותיים ולא-מציאותיים בניסוח בעיות ה. מידת השמירה על סדר הצגת המספרים בבעיה בהתאם לנתון ו. מידת הדמיון בין הסיפור שנכתב ובין הניסוחים המוצגים בספרי לימוד ששת הסעיפים ניתנים לחלוקה לקטגוריות, כפי שמוצג בתרשים 0. 3

6 לספר על מספרים תרשים 1: בעיה מילולית המנוסחת על ידי הנחקר יכולת ניסוח של בעיה או סיפור מתמטי סעיף א' תוכן מתמטי סעיפים ב' וג' יכולת ניסוח הבעיה כמציאותית סעיף ד' "יצירתיות" סעיפים ה' וו' הממצאים הממצאים מוצגים בהתאם לסעיפים המוצגים בשיטת המחקר. א. בתחילה נבדק מי מהנחקרים מילא את המשימה, ללא כל התייחסות לתוכנה. טבלה 0 מציגה את אחוז המשיבים לכל אחת מהשאלות. טבלה 1: אחוז המשיבים על כל אחת מהשאלות בשאלון שאלה 1 שאלה 2 שאלה 3 שאלה 4 קבוצה/שאלה קבוצה א ' 90.22% 20.22% 90.2% 22.02% סטודנטיות במסלול מורות-גננות קבוצה ב ' 93.6% 93.6% 91.3% 93.6% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה א' קבוצה ג ' 011% 011% 22.3% 011% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה ב' 011% 93.1% 93.1% 91.2% קבוצה ד ' מורות בפועל 33= N מן הממצאים עולה: 2 רוב הנחקרים השיבו על השאלון במלואו. גננות התקשו ביותר בכתיבת בעיות מילוליות. הסטודנטיות במסלול מורות- הסטודנטיות בהתמחות מתמטיקה השנה ב' התקשו להשיב על שאלה 1 יותר מהאחרים.

7 שולי אופיר ואילנה לבנברג חלק מן הנחקרים )ההתפלגות המדויקת מוצגת בטבלה 6( יצרו מן המספרים הנתונים תרגיל במקום בתחילת המחקר(. לשלבם בטקסט )אפשרות כזאת לא שיערנו לדוגמה, בשאלה 2 כתבו את התרגיל: = במקום לנסח בעיה מילולית. כלל בשאלה 6 נמצאו תשובות כמו, פתור את התרגיל הבא: )3-00( ולא נכתב כל טקסט. כאמור, תשובות מסוג זה לא נצפו מראש. טבלה 2: אחוז המשיבים שהציגו תרגיל כ "בעיה מתמטית" שאלה 2 שאלה 4 שאלה 2 קבוצה/שאלה ושאלה % 66.22% 02.1% קבוצה א ' סטודנטיות במסלול מורות גננות קבוצה ב ' 22.22% 36.2% 26% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה א' 63% 31% 12.3% קבוצה ג ' סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה ב' 02.1% 09% 61.2% קבוצה ד בכל אחת מקבוצות הנחקרים נמצאו כאלה שפירשו את המושג "בעיה מתמטית" כתרגיל חשבון. בולטת קבוצת הנחקרים בהתמחות מתמטיקה שנה א'. יותר מ- 31% של המשיבים בה פירשו את המושג "בעיה מתמטית" כדרישה לכתיבת תרגיל. גם בקרב המורות בפועל נמצאו כאלה שחיברו תרגיל במקום לנסח בעיה מתמטית. ב. בטבלה 1 מוצג אחוז הנחקרים שעשו הסיפור המתמטי. שימוש בכל הנתונים המספריים בכתיבת 2

8 לספר על מספרים טבלה 3: אחוז המשיבים שהשתמשו בכל הנתונים בכתיבת סיפור מתמטי שאלה 3 שאלה 1 21% 32% 20% 22% 22.3% 92% 22% 91.3% קבוצת המדגם /שאלה קבוצה א ' סטודנטיות במסלול מורות-גננות קבוצה ב ' סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה א' קבוצה ג' סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה ב' קבוצה ד ' מורים בפועל סטודנטיות במסלול מורות-גננות המעיטו להשתמש בכל הנתונים המופיעים בשאלה. רוב המורים בפועל והסטודנטים בהתמחות מתמטיקה בשנה ב' השתמשו בכל הנתונים בכתיבת הבעיה המתמטית. ג. בטבלה 2 מספרים. מוצג אחוז הנחקרים שניסחו סיפור מתמטי הניתן לתרגום לתבנית 2

9 שולי אופיר ואילנה לבנברג טבלה 4: אחוז המשיבים מספרים שכתבו סיפור מתמטי שניתן לתרגמו לתבנית קבוצת המדגם / שאלה שאלה 1 שאלה 3 21% 69% קבוצה א ' סטודנטיות במסלול מורות-גננות 11% 62% קבוצה ב ' סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה א' קבוצה ג ' 22.3% 26.3% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה ב' קבוצה ד ' 12% 22.3% מורים בפועל רוב הסיפורים שאינם ניתנים לתרגום לתבנית מספרים נכתבו בידי סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה א'. קבוצת הסטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה ב' כתבו יותר סיפורים מתמטיים שניתן להתאים להם תבניות מספרים מאשר המורות בפועל. ד. בטבלה 3 מוצג אחוז הנחקרים שחיברו בעיה או סיפור חשבוני לא-מציאותי. טבלה 5: אחוז המשיבים שיצרו מן הנתונים סיפור לא-מציאותי שאלה מס' 4 שאלה מס' 3 שאלה מס' 2 שאלה מס' 1 קבוצה/שאלה 2% 00.3% 00.3% 02% קבוצה א' סטודנטיות במסלול מורות-גננות קבוצה ב ' 12% 9.3% 1 9.3% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה א' קבוצה ג ' 10.63% 06.3% 06.3% 1 סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה ב' קבוצה ד ' 1% 1% 1% 1% מורים בפועל בולטת המגמה הכללית של כתיבת סיפורים מציאותיים ברוב השאלות. 9

10 לספר על מספרים בכתיבת סיפור מתמטי בשאלה 0 גדול יותר אחוז המשיבים שכתבו סיפור לא-מציאותי מאשר בשאלות אחרות. כל המורים בפועל ניסחו אך ורק בעיות וסיפורים מציאותיים. ה. בטבלה הבאה מוצג המדויק כפי שהופיעו בשאלה. אחוז הנחקרים אשר שיבצו את המספרים הנתונים בסדר טבלה 6*: אחוז המשיבים אשר שמרו על סדר הופעת הנתונים בשאלה שאלה 2 שאלה 1 קבוצה / שאלה 21% 32% קבוצה א ' סטודנטיות במסלול מורות גננות קבוצה ב ' 22% 02% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה א' קבוצה ג ' 32.63% 63% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה ב' ו. קבוצה ד ' 36.3% 12% מורים בפועל * נבדקו רק השאלות שיש בהן ארבעה נתונים מספריים. בכל אחת הקבוצות שמרו יותר מחצי ממספר הנחקרים על סדר מדויק של המספרים הנתונים בשאלה הראשונה. בשאלה השנייה נשמר סדר זה פחות. בטבלה הלימוד. מוצג 2 אחוז הנחקרים שהיו צמודים לניסוחים המופעים בספרי 01

11 שולי אופיר ואילנה לבנברג טבלה 7: אחוז המשיבים שחיברו בעיה מילולית הדומה בניסוחה לבעיה מספר הלימוד )בטבלה מוצגים רק הנחקרים שכתבו לשאלות 6 ו- 2 בעיה מילולית ולא תרגיל(. קבוצה/שאלה שאלה 2 שאלה 4 קבוצה א ' 22.3% 12% סטודנטיות במסלול מורות גננות קבוצה ב ' 62% 09% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה א' קבוצה ג ' 31% 31% סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה שנה ב' קבוצה ד ' 21% 21% מורים בפועל הסטודנטים בהתמחות מתמטיקה שנה א' היו פחות צמודים מכל האחרים לניסוחים מספרי הלימוד. המורים בפועל וסטודנטים בשנה ב' בהתמחות מתמטיקה כתבו את הבעיות המילוליות הקרובות ביותר לניסוחים המופעים בספרי הלימוד. ציטוטים מתוך השאלונים הראויים להתייחסות מיוחדת להלן יובאו שתי תשובות נחקרים שהן בגדר סיפור תקין, ואחריהן מספר דוגמאות שיש בהן ניסוח חריג בעל אפיונים שונים )ליקוי לשוני, ליקוי מתמטי, לא מציאותי וכו'(. מן הראוי להביאן כחלק מהממצאים )הלא-כמותיים( שנחקרים תופסים את משמעות הסיפור המתמטי. סיפורים תקינים: שמהם ניתן ללמוד על "דליה גרה ברחוב פנחס ספיר בבית מס' 011 דירה מס' 2. דליה בת 01 ולה 2 אחים". "במוקד מס' 011 התקבלו ביום ראשון 62 הודעות, 01 הודעות מתוכן היו בנושא ניתוקי חשמל, 2 הודעות בנושא חשבון חשמל וכל היתר היו הודעות בנושאים אחרים". האופן 00

12 לספר על מספרים סיפורים לא תקינים: "משפחה מאוד מיוחדת שההורים בה נפטרו ונשארו שלושה ילדים בגילים 2. 01, 62, היה להם סבא מאוד זקן בן 012". ס"מ 62 ס"מ לגובה של 011 ילדים הרימו שולחן בגודל של "01 לקומה 2". אנשים המאכילים את 21 ציפורים. בגן עובדים 61 "בגן חיות הציפורים 11 ק"ג אוכל ליום". "02 אנשים נסעו באוטובוס מס' מהם היו ילדים ו- 3 אנשים היו קשישים". דיון ומסקנות כתיבת סיפורים ובעיות מילוליות היא חלק חשוב בפיתוח החשיבה המתמטית והיא משרתת היטב את הדרישה לטיפוח אוריינות מתמטית. מחקר זה נועד לבדוק את מידת היכולת של פרחי הוראה ומורים בפועל לכתוב סיפור מתמטי ובעיה מתמטית על סמך שורה של מספרים נתונים ולבחון את המאפיינים של תוצרי כתיבתם. בבחינת היכולת של הנחקרים לכתוב סיפור או בעיה מילולית על פי רשימה נתונה של מספרים בולטת קבוצה אחת של פרחי הוראה מורות-גננות, שחלקן התקשו במשימה )כ- 61% לא עמדו בה(. יתר הנחקרים לא התקשו במשימה זו. ההתייחסות בחלק זה היתה ליכולת להתבטא בכתב בנושא מתמטי ולא לתוכן. מן הממצאים למדנו, כי בקרב רוב הנחקרים קיימת הנכונות להתבטא בכתב ולחבר סיפור מתמטי או בעיה מילולית. מניתוח התוכן המילולי-מתמטי למדנו כי חשוב להתמקד בפעילויות אורייניות במהלך ההכשרה. ממצא שהפתיע אותנו מאוד )וכלל לא שיערנו אפשרות לקיומו( היה הבלבול בין בעיה מתמטית או סיפור מתמטי לבין תרגיל חשבון. חלק מהנחקרים )ראה טבלה 6( הבינו את המושג סיפור מתמטי כבעיה מתמטית, בעוד בעיה מתמטית הם פירשו כתרגיל. בקבוצת המורים בפועל, כ- 61% מהנחקרים פירשו בעיה מתמטית כתרגיל. חשוב לציין כי בקבוצה א' )מורות-גננות(, המחקר נערך עם סיום הקורס "סיפור וחרוז מתמטי", וניתן להניח כי התכנים שנלמדו בו השפיעו על היכולת לנסח בעיה וסיפור מתמטי. בעקבות ממצא זה יש מקום 06

13 שולי אופיר ואילנה לבנברג להציע, שבמהלך ההכשרה יינתנו הגדרות ברורות של המושגים בעיה מתמטית ותרגיל מתמטי. סיפור מתמטי הוא כאמור רק שילוב של יסודות מתמטיים בטקסט, ללא צורך במשימת פתרון. בניתוח התוכן המילולי-מתמטי של התשובות התמקדנו בשלושה מאפיינים: התוכן המתמטי של הבעיה, ניסוח הבעיה )אם היא הגיונית ונשענת על המציאות( ומידת הדמיון של הטקסט לניסוחים המקובלים בספרי הלימוד. השימוש במכלול הנתונים בשאלה במהלך הכתיבה של בעיה מילולית אמור היה להאיר את אופן ההתייחסות של הנחקרים לנתונים הן מבחינת תפיסת המספר והן מבחינת היכולת המתמטית לשבץ את כל המספרים בבעיה. ממצאי המחקר מורים על קבוצה אחת של סטודנטים בשנה א' מהמסלול מורות-גננות שהמעיטו להשתמש בכל הנתונים. ייתכן שיש לייחס ממצא זה, דווקא בקבוצה זו, לאופן שבו המתמטיקה נתפסת בעיני המלמדים בגיל הרך. במקרה זה, ייתכן שהחופש והיצירתיות גוברים על הקפדנות המתמטית. מאחר שמדובר בסטודנטים בשנה א', ניתן לצפות כי במהלך לימודיהם תינתן להם העשרה מתאימה בנושא הבעיות המילוליות ויושלמו הפרקים החסרים. בדרישה לכתיבת סיפור חשבוני ציפינו לסיפור אשר בסופו ניתן לשאול שאלה חשבונית ולחבר פסוק מתאים בשפה המתמטית. האחוז הגבוה ביותר של הנחקרים שידעו להתמודד עם משימה זו נמצא בקבוצת הסטודנטיות המתמחות במתמטיקה שנה ב'. ניתן לייחס זאת להכשרה שניתנת במהלך קורסים העוסקים בדידקטיקה של המקצוע. כתיבה של סיפור חשבוני אינה משימה המקובלת בכיתות הלימוד, ואף אין זו משימה שכיחה בספרי הלימוד. לכן, היכרות עם משימות מסוג זה מומלצת כחלק מטיפוח האוריינות המתמטית. אחד הסטנדרטים של ה- NCTM )כפי שהוזכר במבוא( מדגיש את הצורך במתן דוגמאות מסביבתו של הלומד כדי שהלמידה תהיה משמעותית. בכל זאת, בכל אחת מהקבוצות מצאנו נחקרים שרשמו בעיות ללא קשר למציאות )10% של פרחי הוראה רשמו בעיה לא ריאלית(. המגמה של כתיבת סיפורים או בעיות שאין להן קשר למציאות )על ידי פרחי הוראה( מחזקת את התפיסה, המוצגת בספרות המחקרית, כי מקצוע המתמטיקה נתפס כמנותק מן האירועים 01

14 לספר על מספרים היומיומיים. מן הראוי להביא ממצא זה לידיעתם של המורים העוסקים בהכשרתם מורי המתמטיקה העתידיים, כדי לחזק "חוליה" זו במהלך הלימודים. אופן שיבוץ המספרים בבעיה המילולית נועד לבחון את מידת היצירתיות של הכותבים. השימוש בכל המספרים הנתונים ושמירה על סדר הופעתם כפי שהוצגו בנתונים יכולה, על פי תפיסתנו, להצביע על חוסר גמישות או על דרך חשיבה תבניתית. גם ייתכן שהנחקרים רצו לוודא בדרך זו שלא נשמט כל נתון מספרי במהלך כתיבת הבעיה. ניתן להניח כי יש כאן שיקוף של דרך ההוראה המובילה לבלימה של היצירתיות. אחוז המורים אשר שמרו על סדר הופעת הנתונים אינו שונה מהותית מזה של המתכשרים להוראה. במהלך ניתוח הממצאים הנוגעים לנושא של יצירתיות כחלק מהבנה מתמטית גילינו שאיש מהנחקרים לא עשה שימוש במספרים לייצוגים גיאומטריים. אמנם נמצא שימוש במספרים כיחידות מידה או משקל, אבל בשום קבוצה לא נמצאו נחקרים שהשתמשו במספרים לייצוג מידות של צורות גיאומטריות )מלבן, ריבוע וכדומה(. אם הבנה מתמטית היא גם יצירת אנלוגיה בין מערכת חדשה למערכת מוכרת הפועלת על פי חוקיות דומה )נשר, 0991(, הרי לפנינו סוג של כשל הוראתי. חוסר המודעות של הנחקרים לשימוש במספרים לייצוגים אחרים הוא גם עבורנו מכשירי המורים סוגיה חשובה שיש לתת את הדעת עליה. ברוב ספרי הלימוד מוצגות בעיות מילוליות בניסוח דומה. במחקר מצאנו כי מורות בפועל צמודות לדוגמאות של ספר הלימוד במידה דומה לפרחי ההוראה. בממוצע, 21% מכלל הנחקרים רשמו בעיה מתמטית בעלת ניסוח זהה לבעיות המופיעות בספר הלימוד. בולטת לטובה קבוצה של סטודנטיות הלומדות שנה א' בהתמחות מתמטיקה )כ- 61% בלבד(. לנוכח ממצא זה יש לשער כי דווקא במהלך ההכשרה קיים עיון רצוף בספרי הלימוד המשפיע על תופעה זו. בהשפעתם הרבה של ספרי הלימוד, הן על המורים והן על הסטודנטים, אין לראות איום על הידע המתמטי או על ההבנה המתמטית, אך מן הראוי למצוא את הדרך לעודד מורים ותלמידים "לייצר בעיות" השונות מהניסוח המקובל והשגרתי כחלק מטיפוח אוריינות מתמטית. 02

15 שולי אופיר ואילנה לבנברג במחקר זה הצגנו מעט מזעיר מן הקשיים בכתיבתו של טקסט מתמטי בקרב פרחי הוראה ומורים בפועל. כלל הממצאים מובילים אותנו למסקנה, שיש להשקיע יותר בהקניית מיומנות של כתיבת טקסט מתמטי לצורך פיתוח ההבנה המתמטית, לשם שיפור הניסוח הריאליסטי ולקידום כתיבה יצירתית בנושאים מתמטיים. אנו מאמינות כי על ידי טיפוח האוריינות המתמטית במהלך הוראת נושא הבעיות המילוליות ניתן לשפר את הישגי הלומד ובעיקר להעמיק את ההבנה המתמטית שלו. 03

16 לספר על מספרים מקורות נשר, פ' )0991(. היש קשר בין ביצוע אלגוריתמי והבנה. הרצאה בכנס מו"ח. ירושלים: משרד החינוך. עזר, ח', מילאת, ש' ופטקין, ד' )0999(. תפיסת האוריינות במתמטיקה בקרב העוסקים בחינוך מתמטי: מאוריינות במתמטיקה לאוריינות מתמטית. דפים 22-32, 23, מכון מופ"ת. פטקין, ד' מילאת,ש' ועזר, ח' )6112(. מספרים מהסיפורים על משלים, על מעשיות ועל מתמטיקה. חולון: רכגולד. קרמרסקי, ב' )0992(. פיתוח שפה מתמטית בסביבות לימוד שונות. עבודה לשם קבלת תואר דוקטור. אוניברסיטת בר אילן. רגב ח' ושמעוני, ש' )0999(. לשוחח מתמטיקה מדוע, למה, ואיך? על"ה , Borasi, R. & Sheedy, J. (1990). The power of stories in learning mathematics. Language Art, 67(2). Buschman, L. (1995). Communication in the language of mathematics. Teaching children mathematics ( ). Coony, T. (1985). A beginning teacher s view of problem solving. Journal for Research in Mathematics Education 16(5), Fischbein, E. (1993). The interaction between the formal the algorithmic and the intuitive components in a mathematical activity.in R. Biehler (Ed.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (pp ) Kluwer. Greer, B. (1993). The mathematical modeling perspective on wor(l)d problems. Journal of mathematical behavior, 12, Harris J. (1999). Interviewing language and mathematics literacy through a story. Teaching Children Mathematics, 5(9), Hiebert, J. (1986). Conceptual and procedural knowledge: The case on mathematics. Hillsdale, NJ: Erlbaum. 02

17 שולי אופיר ואילנה לבנברג Kintsch, W. (1986). Learning from Text. Cognition and Instruction,3(2), Kliman, M. & Kleiman, G.M. (1989). Mathematics story problems as stories about mathematics. Paper presented at the Boston University Conference on language development. Morgan, C. (1996). Language and assessment issues in mathematics education. Proceeding of the 20th conference of PME. Valencia, Spain. Vol. 4 (19-25). National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM. Thompson, A. (1984). The relationship of teachers` conceptions of mathematics and mathematics teaching to instructional practice. Educational Studies in Mathematics, 15. pp ( ). Scheibulhut, C. (1994). I do and I understand I reflect and I improve. Teaching children Mathematics, ( ). Silver, E. (1996). An analysis of arithmetic problem posing by middle school students. Journal for Research in Mathematics Education Vol. 27, 5, Skemp,R. (1997). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics teaching. 77, pp (20-26). Verschaffel, L. (1996). Pre-service teachers` conception and beliefs about the role of real world knowledge in arithmetic word problem solving. Proceeding of the 20th conference of PME. Valencia, Spain. Vol. 4,

מספר השאלון: Thinking Skills נספח: כישורי חשיבה )לפרק ראשון ושני( א נ ג ל י ת (MODULE F) ספרות )מילון הראפס אנגלי-אנגלי-ערבי(

בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, 2011 מועד הבחינה: משרד החינוך 016117 מספר השאלון: Thinking Skills נספח: כישורי חשיבה )לפרק ראשון ושני( א נ ג ל י ת א. משך הבחינה: שעה וחצי שאלון